Hast du es gelöst? Der unendliche Affensatz | Mathematik

Heute habe ich Ihnen das folgende Rätsel gestellt, das auf der Idee basiert, dass ein Affe, der an einer Schreibmaschine sitzt und zufällige Tasten einschlägt, schließlich die vollständigen Werke von Shakespeare tippen wird. Hier nochmal mit der Lösung.

Das Zauberwort

Ein Affe sitzt an einer Schreibmaschine, die nur 26 Tasten hat, eine pro Buchstabe des Alphabets. Der Affe tippt willkürlich mit einer konstanten Geschwindigkeit von einem Buchstaben pro Sekunde. Es bevorzugt keine Buchstaben: Alle Buchstaben haben zu jeder Sekunde eine Wahrscheinlichkeit von 1/26, getippt zu werden.

Welche der folgenden ist größer?

a) die durchschnittliche Zeit, die der Affe braucht, um „Abrakadabra“ zu tippen

b) die durchschnittliche Zeit, die der Affe braucht, um „abracadabrx“ einzugeben

Bevor ich zur Antwort komme, einige Klarstellungen. Wenn ich sage “die durchschnittliche Zeit, die der Affe braucht, um Abrakadabra zu tippen”, meine ich nicht, wie lange es dauert, das Wort “Abrakadabra” alleine zu tippen, was immer 11 Sekunden (oder 10 Sekunden seit dem ersten Buchstaben) sind wird auf null Sekunden getippt und der 11. Buchstabe wird auf der 10. Sekunde getippt.) Ich meine die durchschnittliche Zeit, die benötigt wird, um zu einem ‘Abrakadabra’ zu gelangen, entweder seit Beginn des Experiments oder seit einem früheren Auftreten von ‘Abrakadabra’ . Anders formuliert wäre die Frage: Was von „Abracadabra“ oder „Abracadabrx“ kommt langfristig häufiger vor? Die häufigere ist diejenige, die im Durchschnitt weniger Zeit in Anspruch nimmt.

Zweitens, wenn der Affe „Abrakadabrakadabra“ tippt, zählt dies nur als ein „Abrakadabra“. Ebenso ist ‘abracadabrabracadabra’ nur ein ‘abracadabra’. Mit anderen Worten, der Affe muss das Wort „Abrakadabra“ vollständig eingeben, und das zählt als ein Auftreten, und dann muss der Affe es für das nächste Auftreten erneut vollständig eingeben.

Antworten: a) ist größer. Im Durchschnitt müssen wir länger warten, bis der Affe „abracadabra“ als „abracadabrx“ tippt.

Funktionsweise: Eine gute Möglichkeit, sich diesem Problem zu nähern, besteht darin, zu überlegen, was passiert, wenn der Affe „abrakadabr“ getippt hat.

Fall 1: Wir betrachten die durchschnittliche Zeit, die der Affe braucht, um „Abrakadabra“ zu tippen.

Wenn der Affe ein „a“ tippt, hat er „Abrakadabra“ getippt. Wir sind fertig. Wenn es kein ‘a’ eingibt, schlägt es fehl und muss von vorne beginnen. In jedem Fall fängt der Affe bei Null an.

Fall 2: Wir sehen uns die durchschnittliche Zeit an, die der Affe braucht, um „abracadabrx“ einzugeben.

Wenn der Affe ein „x“ tippt, hat er „abracadabrx“ getippt. Wir sind fertig. Wenn es kein ‘x’ eingibt, schlägt es fehl. Aber es fängt nicht bei null an! Es besteht eine Chance von 1/26, dass der Affe ein „a“ tippt, und wenn der Affe ein „a“ tippt, beginnt er mit „abra“, mit anderen Worten, mit bereits vier Buchstaben.

Diese Argumentation erklärt, warum ‘Abrakadabra’s im Durchschnitt seltener vorkommen als ‘Abracadabrx’.

Tatsächlich erhalten Sie im Durchschnitt ein „Abrakadabrx“ etwa fünf Tage früher als ein „Abrakadabra“ – obwohl die durchschnittliche Zeit, die es dauert, um eines von ihnen zu bekommen, etwa 100 Millionen Jahre beträgt.

Wie soll ich wissen? Die Berechnung erscheint in einem neuen Rätselheft Der Preis des Kuchens: Und 99 andere klassische mathematische Rätsel, von Clément Deslandes und Guillaume Deslandes. Ihre Erklärung der Lösung geht ins Detail, als ich es hier getan habe, und wenn Sie daran interessiert sind, mehr zu erfahren, empfehle ich es.

Ich hoffe, Ihnen hat das heutige Rätsel gefallen. Ich bin in zwei Wochen wieder da.

Ich stelle hier alle zwei Wochen an einem Montag ein Rätsel auf. Ich bin immer auf der Suche nach tollen Rätseln. Wenn Sie einen vorschlagen möchten, senden Sie mir eine E-Mail.

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