Die Quelle fügte jedoch hinzu, dass sie "die terroristische Erklärung nicht ausschließen", obwohl sie "immer weniger glaubwürdig" wird.
Der 52-jährige Priester wurde in den Magen geschossen und bleibt im Krankenhaus. Die französische Polizei sagte am Samstag, er sei von einem einsamen Angreifer mit einer abgesägten Schrotflinte angegriffen worden.
Der Vorfall löste am Samstag in Lyon eine große Sicherheitsoperation aus. Anwohner und eine städtische Polizeipatrouille berichteten, sie hätten zwei Schüsse in der Nähe der griechisch-orthodoxen Kirche im 7. Bezirk der Stadt gehört, teilte die Staatsanwaltschaft in Lyon in einer Erklärung mit.
Sie sahen eine Person rennen und fanden später den verwundeten Priester an der Hintertür der Kirche, sagten Staatsanwälte.
"Es scheint, dass wir einige Elemente haben, die uns glauben machen, dass dies kein Terroranschlag ist", sagte die Quelle in der Nähe der Untersuchung am Sonntag. Die Ermittler "untersuchen die Persönlichkeit und die Beziehungen des Priesters".
Ein Mann, der der Beschreibung des Angreifers entsprach, wurde "zur Befragung herangezogen, aber die Suche läuft noch" für andere potenzielle Verdächtige, teilte die Quelle mit.
Das griechische Außenministerium gab am Samstag eine Erklärung ab, in der es den Angriff "gegen einen orthodoxen Priester griechischer Herkunft" verurteilte.
Die Schießerei fand nur zwei Tage nach drei Personen statt bei einem Messervorfall getötet in einer Kirche in Nizza. Eine Untersuchung dieser Stichwunden ist im Gange, aber der französische Präsident Emmanuel Macron sagte, das Land werde von angegriffen "Islamistischer und terroristischer Wahnsinn."
Nach dem Anschlag in Nizza erhöhte Frankreich seine nationale Terroralarmrichtlinie auf das höchste Notfallniveau, und bis zu 4.000 Militärangehörige wurden eingesetzt, um die Sicherheit in Schulen, Kirchen und anderen Kultstätten zu erhöhen.