Heute habe ich Ihnen ein Rätsel über Piper und Alex gestellt, zwei Gefangene, die vor einer scheinbar unmöglichen Herausforderung stehen.
Hier ist das Problem wieder, diesmal mit der Lösung.
Die vier Kisten
Piper und Alex teilen sich dieselbe Zelle. Eine Wache kommt herein und sagt ihnen, dass ihnen eine Herausforderung gestellt wird, die ihnen ihre Freiheit einbringen könnte. Dabei werden beide Gefangenen nacheinander in eine separate Zelle gebracht, in der sich vier identische leere Kisten mit den Nummern 1, 2, 3 und 4 befinden. Der Ablauf ist wie folgt:
i) Piper wird in die neue Zelle geführt. Der Wächter nimmt dann ein Stück Papier aus seiner Tasche und legt es zufällig in eine der vier Schachteln. Piper wird sehen, in welcher Kiste sich das Papier befindet. Die Wache schließt die Kiste. Er wirft eine Münze und legt sie auf Box 1. Er wirft eine weitere Münze und legt sie auf Box 2, und so weiter für die Boxen 3 und 4. Jede Münze hat eine 50/50-Chance, Kopf oder Zahl zu sein. Piper kann die Vorderseiten aller Münzen sehen.
ii) Piper muss eine einzelne Münze umdrehen. (Sie kann eine der vier Münzen auswählen, und wenn sie das tut, wird aus einem Kopf eine Zahl oder umgekehrt.) Sie wird dann aus der Zelle herausgeführt und alleine in eine dritte Zelle gebracht.
iii) Alex wird nun in die Zelle mit den Kisten gebracht. Sie wird nicht in der Lage sein, in die Kisten zu sehen, da sie geschlossen sind. Aber sie wird die Gesichter der Münzen sehen können. Sie wird aufgefordert, eine Kiste zu öffnen. Wenn die Schachtel das Papier enthält, werden beide Frauen befreit. Wenn das Papier nicht darin ist, werden die Frauen in ihre Zelle zurückgebracht.
Welche Strategie garantiert, dass die Gefangenen ihre Freiheit gewinnen?
Die Gefangenen dürfen ihre Strategie besprechen, bevor Piper mit den Kisten in die Zelle gebracht wird, und sich auf einen Plan einigen. Aber sobald Piper in diese Zelle geht, hat sie keine Kommunikation mit Alex, abgesehen von der „Nachricht“, die sie Alex gibt, indem sie eine einzelne Münze umdreht.
Lösung
Ich schlug vor, dass der Weg zur Lösung dieses Problems darin besteht, die Situation zu vereinfachen und zu sehen, ob Erkenntnisse herausspringen. Beginnen wir damit, genau das gleiche Rätsel zu lösen, wenn sich nur zwei Kästchen in der Zelle befinden. Das heißt, Piper wird in einen Raum mit nur ZWEI Kisten geführt. Der Wärter spielt das Gewirr ab, indem er das Papier in eine der Schachteln legt und zufällig eine Münze auf jede Schachtel legt. Piper weiß, in welcher Schachtel sich das Papier befindet, und sie kann beide Münzen sehen, von denen jede eine 50/50-Chance hat, Kopf oder Zahl zu sein.
Piper muss nur eine Münze umdrehen und dann den Raum verlassen. Wie kommuniziert sie mit diesem “Zug”, welche der Schachteln das Papier hat?
In diesem Fall ist die Lösung fast trivial. Hier ist die einfachste Strategie: Die Gefangenen entscheiden, dass ein Kästchen die Rolle des „Indikators“ übernimmt, das heißt, die Münze darauf zeigt an, wo sich das Papier befindet. Nehmen wir an, sie entscheiden, dass Box 1 die Anzeigebox ist, mit der Regel, dass, wenn die Münze auf Box 1 Kopf ist, das Papier in Box 1 ist, und wenn die Münze auf Box 1 Zahl ist, ist das Papier in Box 2.
Wenn Piper also sieht, dass die Wache das Papier in Box 2 legt, muss sie sich nur vergewissern, dass die Münze auf Box 1 Zahl zeigt. Wenn die Münze auf Box 1 Kopf ist, dreht sie sie um, und wenn sie Zahl ist, dreht sie die Münze auf Box 2. (Was in Ordnung ist, da der Status der Münze auf Box 2 für die Identifizierung der Richtigen irrelevant ist Kasten.)
Nun zur Vier-Box-Version. Die Lösung verwendet die gleiche Idee. In diesem Fall bilden drei Felder, beispielsweise die Felder 1, 2 und 3, den „Indikator“. Wie oben wird die Münze auf dem verbleibenden Kästchen, Kästchen 4, nur gedreht, wenn die Münzen auf 1, 2 und 3 das richtige Kästchen anzeigen.
Schauen wir uns unseren Drei-Box-Indikator genauer an. Es gibt acht mögliche Positionen der Münzen auf diesen Boxen:
HHH, TTT, HHT, TTH, HTH, THT, THH und HTT
Bemerkenswert und unerwartet (oder war es jedenfalls für mich!) ist, dass es eine Möglichkeit gibt, Kombinationen so zuzuweisen, dass Kästchen angezeigt werden Unabhängig von der angegebenen Münzkombination können Sie jedes der vier Kästchen anzeigen, indem Sie höchstens eine Münze umdrehen.
Hier ist ein Weg, es zu tun. Lassen Sie die Kombinationen die Kästchen auf folgende Weise anzeigen:
Kasten 1: HHH und TTT
Kasten 2: HHT und TTH
Kasten 3: HTH und THT
Kasten 4: THH und HTT
Mit anderen Worten, wenn die ersten drei Felder HHH oder TTT enthalten, bedeutet dies, dass sich das Papier in Feld 1 befindet, und so weiter.
Sagen Sie jetzt einfach, Piper möchte Box 2 anzeigen. Und sagen wir, wenn sie in der Zelle ankommt, zeigen die Boxen HTH (was Box 3 anzeigt). Alles, was sie tun muss, ist die erste Münze umzudrehen, um TTH zu erhalten, was Box 2 anzeigt.
Wenn Sie sich die Kombinationen genau ansehen, können Sie von einer Kombination, die ein beliebiges Kästchen anzeigt, zu einer Kombination gelangen, die ein beliebiges anderes Kästchen anzeigt, indem Sie eine einzige Münze umdrehen.
Dieses Diagramm kann Ihnen helfen zu sehen, was vor sich geht. Blau zeigt Kästchen 1, rotes Kästchen 2, rosa Kästchen 3 und grünes Kästchen 4 an. Kombinationen sind mit anderen Kombinationen verknüpft, bei denen nur eine Münze umgedreht wird. Jede Kombination ist mit drei anderen Kombinationen verbunden, jede in einer anderen Farbe.
Das Diagramm sagt uns, dass wir jede Kombination auf unserem „Indikator“ ändern können, um eine andere Box anzuzeigen, indem wir eine einzelne Münze umdrehen. Was ist nun, wenn Piper eine Kombination sieht, die bereits die richtige Box anzeigt? Ganz einfach: Sie dreht die Münze auf Kästchen 4 um. (Wie bei der ersten Herausforderung brauchen wir ein „Redundanz“-Kästchen, dessen Position keinen Einfluss auf die Anzeige hat.)
Es ist ein umwerfendes Ergebnis. Welche Kombination Piper auch immer auf den ersten drei Feldern sieht, sie kann sie in jede beliebige Kombination ändern, indem sie höchstens eine einzelne Münze umdreht.
Wenn Sie mehr über die Mathematik hinter diesem Puzzle lesen möchten, eine kompliziertere Version mit einem Schachbrett erschien ursprünglich im Datengenetik-Blog und wurde von Legenden der Mathematikkommunikation diskutiert Matt Parker und Grant Sanderson (alias 3blue1brown) in diesem Video hier.
Pierre Chardaire, ein Informatiker im Ruhestand, hat das Schachbrettpuzzle vereinfacht, um die Version zu erstellen, die wir hier gelöst haben.
Ich hoffe, Ihnen hat das heutige Rätsel gefallen, ich bin in zwei Wochen wieder da.
Ich stelle hier alle zwei Wochen an einem Montag ein Rätsel auf. Ich bin immer auf der Suche nach tollen Rätseln. Wenn Sie einen vorschlagen möchten, senden Sie mir eine E-Mail.
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