Es schien ein unwahrscheinliches Ergebnis zu sein, nachdem Sadio Mane Liverpool nach nur 12 Minuten in Führung gebracht hatte und der Besucher für lange Zeit in seine eigene Hälfte zurückgedrängt wurde.
In der zweiten Halbzeit bot Albion jedoch eine größere Bedrohung, und acht Minuten vor Schluss stieg der nigerianische Nationalspieler Semi Ajayi auf, um eine Flanke von Matheus Pereira nach Hause zu bringen. Es war Ajayis erstes Tor in der Premier League.
Liverpool machte sich auf die Suche nach einem späten Sieger, doch West Brom-Keeper Sam Johnstone rettete mit atemberaubender Fingerspitze den Kopfball von Roberto Firmino.
Firmino erzielte den späten Sieger beim vorherigen Heimspiel gegen Tottenham Hotspur, als Liverpool an die Spitze kam, aber es sollte keine Wiederholung geben.
Allardyce, der Slaven Bilic in West Brom abgelöst hat, war noch nie für einen Abstieg verantwortlich. Er hat eine gute Rekordmannschaft in Anfield, die in vier Spielen mit drei verschiedenen Vereinen ungeschlagen war, einschließlich des letzten Sieges eines Gastmanagers bei Crystal Palace im April 2017.
Der Torwartheld Johnstone erkannte den Unterschied an, den Allardyce seit seinem Amtsantritt gemacht hat.
"Jeder weiß, wie der Manager ist. Er ist hereingekommen und die Dinge ändern sich sehr schnell und die Jungs reagieren darauf.
"Es ist neues Management, neue Dinge und wir machen weiter und glauben an uns selbst", sagte er gegenüber Sky Sports.
"West Brom hat diesen Punkt heute Abend verdient, weil wir das Spiel nicht beendet haben. Es ist schwierig zu schaffen. Am Ende weiß und glaubt jeder, dass wir es besser hätten machen sollen und können", sagte er gegenüber Sky Sports.
Das Ergebnis lässt seine Mannschaft drei Punkte Vorsprung vor dem Merseyside-Rivalen Everton und einer Vielzahl anderer Vereine in unmittelbarer Nähe inmitten eines hektischen Urlaubs.
Liverpool startete das Spiel, das einzige, das vor einem Heimpublikum mit anderen Vereinen unter Coronavirus-Beschränkungen spielte, in der Stimmung für eine Torschwemme. Der senegalesische Star Mane nutzte eine Zeit intensiven Drucks, indem er Joel Matips scharfen Pass auf seiner Brust kontrollierte, bevor er an Johnstone vorbei schoss.
Andere Ziele könnten gefolgt sein, aber die Baggies hielten fest und Liverpool ging aus dem Ruder, unfähig, Johnstone zu testen.
West Brom zeigte nach der Pause etwas mehr Ehrgeiz und hätte möglicherweise einen Ausgleich erzielen können, als Karlan Grant hinter dem jungen Rhys Williams, einem Ersatzspieler für die verletzte Matip, in der zweiten Halbzeit einstieg, doch Liverpools Keeper Alisson Becker bestritt ihn mit den Beinen.
Aber die Warnschilder waren da, als Ajayi Platz fand, um seinen Ausgleich vom Holzwerk ins Netz zu lenken.
Leeds geht an Burnley vorbei
Zuvor hatte Leeds seinen Platz im Mittelfeld gefestigt, als Patrick Bamfords Elfmeter einen 1: 0-Sieg gegen Burnley erzielte.
Bamford wechselte fünf Minuten nach dem Sturz von Nick Pope, seinem zehnten Saisontor, von der Stelle.
Burnley fühlte sich schwer getan, als Ashley Barnes in der 19. Minute den Ausgleich zu erzielen schien. Leeds 'französischer Torhüter Illan Meslier holte sich einen hohen Ball, fummelte ihn aber, nachdem er in Burnleys Ben Mee geklappert hatte. Barnes legte den abgeworfenen Ball ins Tor, aber das Tor wurde nicht zugelassen, als Schiedsrichter Robert Jones ein Foul an Mee forderte und Leeds einen Freistoß zuerkannte.
Die besuchenden Spieler waren empört, dass es nicht an den Schiedsrichter des Videoassistenten weitergeleitet werden konnte, da Jones für das Foul geblasen hatte, bevor der Ball ins Netz traf.
Meslier, der sein fünftes Gegentor der Saison blieb, hielt einen späten Versuch von Barnes ab, drei Punkte für die Männer von Marcelo Bielsa zu sichern.
Am zweiten Nachmittagsspiel am Sonntag gab es ein 2: 2-Unentschieden zwischen West Ham und Brighton. Der Besucher führte zweimal im London Stadium und musste beide Male zurück.
Neal Maupay brachte Brighton kurz vor der Halbzeit verdientermaßen in Führung, aber die Hammers glichen durch Ben Johnsons erstes Tor für den Verein zur vollen Stunde aus.
Lewis Dunk schien es für Brighton gewonnen zu haben, als er nach einer Ecke wechselte, wobei West Ham für den Handball appellierte, aber Tomas Soucek erzielte ein weiteres entscheidendes Tor, sein viertes der Saison, als er unmarkiert von einer Ecke nach Hause ging.
Das Ergebnis lässt Brighton zwei Punkte vor der Abstiegszone liegen, West Ham auf dem zehnten Platz.
Jose Mourinhos Tottenham spielt im späten Anpfiff bei Wolves und hofft, nach zwei Niederlagen in Folge, darunter auch in Liverpool, wieder auf die Siegerstraße zurückkehren zu können.